ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು: ಲೆಕ್ಕ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಪ್ರಾಯಶಃ, ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಶಾಲೆಯಿಂದ ನಮಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಷ್ಟವಿದೆ, ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ, ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯ. ಇದು ಜನರ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆದ ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಹೋಗುವ ಮೊದಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ, ಮತ್ತು ಅವು ನಮಗೆ ಎಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತವೆ, ನಾವು ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಮುಳುಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಇತಿಹಾಸ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕಾನೂನಿನ ಆವಿಷ್ಕಾರದಿಂದ ನಾವೆಲ್ಲರೂ ತಿಳಿದಿರುವ ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಮೂಲಕ ತೆರೆದಿದೆ (ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ "ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ" ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಇನ್ನೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ). ದೇಹಗಳ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧಕದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಜೋಡಿಸಲು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅವನು ಮೊದಲು ಅನ್ವಯಿಸಿದನು. ಮತ್ತು ಅನೇಕ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಇನ್ನೂ ಈ ಭವ್ಯ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ರನ್ನು ಹೊಗಳಿದ್ದಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅವರು ವಿಭಿನ್ನ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಧಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯ "ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನೊಬೆಲ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿ, ನ್ಯೂಟನ್ರು ಹಲವು ಬಾರಿ ಅದನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಬಹುದಿತ್ತು.

ಇತರ ಮಹಾನ್ ಮನಸ್ಸುಗಳಿಲ್ಲ. ನ್ಯೂಟನ್ರ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ, ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್, ಲೂಯಿಸ್ ಲಗ್ರೇಂಜ್ ಮತ್ತು ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಮೊದಲಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಂತಹ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಪ್ರತಿಭೆಗಳು ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು. ಇಂದಿನವರೆಗೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಾವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಅವರಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ಮೂಲಕ, ಈ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, ಅದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸ್ಪರ್ಶದ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಏನೂ ಆಗಿರಲಿಲ್ಲ.

ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸ್ವಲ್ಪವನ್ನು ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದು?

ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀವು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸರಳ ವಿವರಣೆಯು: ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ. ನಾವು x ಯ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯ y ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಬಾಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವ ಅವಧಿ. ನಾವು ಈ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಪರಿಮಿತ ಸಣ್ಣ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಇದು ನೇರ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಅಪರಿಮಿತ ಸಣ್ಣ ವಿಭಾಗದ ಗಾತ್ರದ ಅನುಪಾತವು ಸಂಘಟಿತವಾದ X ಯ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ X ಯೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆಗ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, x ನಲ್ಲಿನ ಆಟದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವೂ ಇದೆ. ಅವನ ಬಗ್ಗೆ, ನಾವು ಈಗ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ತಮ್ಮಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ, ಸರಿಯಾದ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲದೆ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಇದು ಉತ್ಪನ್ನವು ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯದ ಇಳಿತವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿಲ್ಲ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಆಸಕ್ತಿಗಾಗಿ, ನಾವು ಕರ್ವ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ). ಇದು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಮಾತ್ರ ಇರುವ ಪ್ರದೇಶಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಹಂತದ ಮೂಲಕ, ಆ ಹಂತದ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರ್ಯಾಫ್ಗೆ ಲಂಬವಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀವು ರಚಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು OX ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಕಕ್ಕೆ ಓಡುತ್ತಿದ್ದೆವು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು OX ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಈ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾತನಾಡಿ ಮತ್ತು ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ.

ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y = x ² ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ X ಯು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 2 * x ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕಾದರೆ, x ₀ = 1 ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು y '(1) = 2 * 1 = 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಪ್ರಕರಣವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ . ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕುರಿತು ನಾವು ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯೆಂದು ಹೇಳೋಣ- ಚದರ -1 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇಂತಹ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ:

1) ಆಟದ ಮತ್ತು x ನಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು.

2) ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಮಾನತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕೌಚಿ-ರೀಮನ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಪೂರೈಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

ಮತ್ತೊಂದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ, ಹಿಂದಿನದು ಎಂದು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ. ಆದರೆ ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪಾತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಯಲು ಆಸಕ್ತಿಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಈಗ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.

ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಪ್ರಾಯಶಃ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಮ್ಮೆಗೇ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಃ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಅವನಿಗೆ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತ ಎಂದು ಯೋಚಿಸುತ್ತಾನೆ. ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿಷಯವು ಬಹುಶಃ ಯಾವುದೇ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಹಣ್ಣುಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕತೆಯಿಂದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಈ ಉತ್ಪನ್ನವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಅದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಂದ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಿತು ಮತ್ತು ನಾವು ಪ್ರಕೃತಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಪರವಾಗಿ ಧನ್ಯವಾದಗಳು.

ತೀರ್ಮಾನ

ನಿಜವಾಗಲೂ ನಿಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ಬೇಕು. ಆದರೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅಗತ್ಯವಾದ ತರ್ಕವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ರಾಣಿ ವಿಜ್ಞಾನಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ: ಅದು ಜ್ಞಾನದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.