ಮೆಕ್ಲಾರಿಯಿನ್ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಭಜನೆಯಿಂದ

ಮುಂದುವರಿದ ಗಣಿತ ಅಧ್ಯಯನ ನಮಗೆ ಹಲವಾರು ಒಂದೆಡೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಆ ಬಾರಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಅನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಭಿನ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಅರಿವನ್ನು. ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಒಂದು ಕ್ರಮವಿಲ್ಲದ ಫಂಕ್ಷನ್ f ನೀಡಲಾಗಿದೆ ವಾದಿಸಲು ಇದು ಇಲ್ಲಿ (x) - ಘಾತ ಸರಣಿಗಳ ಮೊತ್ತ? ಆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಎಫ್-tions ಎಫ್ (x) ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಆಗಿದೆ? ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸುಮಾರು £ ಥಿಯಲಾಜಿಕಲ್ ಎಫ್ (X) ಘಾತ ಸರಣಿಗಳ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳು ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಸಾಧ್ಯ ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾದಾಗ. ಬಹುಪದೀಯ - - ಇಂತಹ ಬದಲಿ ಕಾರ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಆಗಿದೆ , ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಅನುಕಲನಗಳ ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಇತ್ಯಾದಿ ...

ಇದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು ಇದೆ ಎಂದು ಕೆಲವು ಎಫ್-II ಎಫ್ (X), ಇದರಲ್ಲಿ (n + 1) -th ಸಲುವಾಗಿ ನ ಜನ್ಯ ಮಾಡಬಹುದು ಲೆಕ್ಕ, ಸಮೀಪದ ಇತ್ತೀಚಿನ ಸೇರಿದಂತೆ (α ಫಾರ್ - ಆರ್; X ₀ ಆರ್) ಬಿಂದು X = α ನ್ಯಾಯವಾದ ಸೂತ್ರವು:

ಈ ಸೂತ್ರವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಬ್ರೂಕ್ ಟೇಯ್ಲರ್ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ ಹಲವಾರು ಒಂದು ಮಾಕ್ಲಾರಿನ್ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ಮಾಕ್ಲಾರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಣೆ ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಒಂದು ನಿಯಮ:

1. ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ, ... ಸಲುವಾಗಿ ನ ಜನ್ಯ ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
2. X = 0 ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಯಾವ ಲೆಕ್ಕ.
3. ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಕ್ಲಾರಿನ್ ಸರಣಿ ಈ ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಗೆ ತದನಂತರ ಒಂದೆಡೆ ಮಧ್ಯಂತರ ನಿರ್ಧರಿಸಲು.
4. (; ಆರ್ -R), ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮಾಕ್ಲಾರಿನ್ ಅಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ ನಿರ್ಧರಿಸಿ

ಆರ್ _ಎನ್ (X) -> 0 ಗೆ n -> ಅನಂತ. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಇದು ಫಂಕ್ಷನ್ f (x) ಮಾಕ್ಲಾರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು.

ಈಗ ಮಾಲಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾಕ್ಲಾರಿನ್ ಸರಣಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ.

1. (X) = ಇ ^ಕ್ಷ ಹೀಗಾಗಿ, ಮೊದಲ F ^{ಎಂದು.} ಸಹಜವಾಗಿ, ತಮ್ಮ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಫ್-ಐಎ ಕೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲಿ ಆದೇಶಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ, ಮತ್ತು ಎಫ್ ^{(ಕೆ) (X)} = ಇ ^X, ಪಡೆದ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಬ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ X = 0. ನಾವು ಎಫ್ ^{(ಕೆ) (0)} = ಇ ⁰ = 1, ಕೆ = 1,2 ಪಡೆಯಲು ... ವಿತರಿಸುವುದರಿಂದ, ಇ ^x ನ ಹಲವಾರು ಆಧರಿಸಿ ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಇರುತ್ತದೆ:

2. ಫಂಕ್ಷನ್ f (x) = ಪಾಪದ x ಗಾಗಿ ಮಾಕ್ಲಾರಿನ್ ಸರಣಿ. ತಕ್ಷಣ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಎಫ್ ಜೊತೆಗೆ ^'(X) = ಕಾಸ್ X = ಪಾಪದ ಆದರೆ (x + N / 2), ^{ಎಫ್' '(x)} = -sin X = ಪಾಪದ (X ಎಲ್ಲಾ ಅಜ್ಞಾತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗಾಗಿರುವ ಎಫ್-tions ಸೂಚಿಸಲು +2 * n / ²⁾ ..., ಎಫ್ ^{(ಕೆ) (X)} = ಪಾಪದ ಆದರೆ (x + ಎನ್ * ಕೆ / 2), ಕೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲಿ. ಸರಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮಾಡುತ್ತಿರುತ್ತದೆ; ನಾವು ಎಫ್ ಸರಣಿಯ (X) = ಪಾಪದ X ಈ ಹಾಗೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ:

3. ಈಗ ಎಫ್ ಎಫ್-iju (X) = ಕಾಸ್ ಕ್ಷ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗಾಗಿರುವ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ^{| ಎಫ್ (ಕೆ) (X)} | = | ಕಾಸ್ ಆದರೆ (x + ಕೆ * N / 2) | <= 1, ಕೆ = 1,2 ... ಮತ್ತೆ, ಇದು, ನಾವು ಎಫ್ ಸರಣಿಯ (X) = ಕಾಸ್ X ಈ ರೀತಿ ಎಂದು ಹೇಗೆ ಕೆಲವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮಾಡಿದ್ದರೂ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಒಂದು ಮಾಕ್ಲಾರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ, ಆದರೆ ಅವರು ಕೆಲವು ಚಟುವಟಿಕೆಗಳಿಗೆ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ಪೂರಕವಾಗಿ. ಈಗ ನಾವು ಅವರಿಗೂ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಮಾಕ್ಲಾರಿನ್ ಸರಣಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಾಗಾರದಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ.

1. ಮೊದಲ ಎಫ್-II ಎಫ್ (X) = ಹಾಗೂ ln (1 + X) ಒಂದು ಸರಣಿ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆ, ಈ ನಾವು f (x) = ಹಾಗೂ ln (1 + X) ಮಾಕ್ಲಾರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಾರ್ಮ್ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಲವಾರು ಮುಚ್ಚಿಹೋಯಿತು ಮಾಡಬಹುದು ಫಾರ್ ಹಾಗೆ. ಆದರೆ ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಮಾಕ್ಲಾರಿನ್ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸರಣಿಯ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟಿಂಗ್, ನಾವು f (x) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು = ಹಾಗೂ ln (1 + X) ಮಾದರಿಯ:

2. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಎಂದು ಇದು, ಎರಡನೇ, f (x) = arctg x ಗಾಗಿ ಸರಣಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದ ಸೇರಿದ x ಎಂಬುದು [-1, 1] ಮಾನ್ಯ ವಿಭಜನೆಯ ಆಗಿದೆ:

ಎಲ್ಲ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಕಾಲೇಜುಗಳು, ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸಿದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಮಾಕ್ಲಾರಿನ್ ಸರಣಿ ಸರ್ವೇಕ್ಷಣೆ ಕೈಗೊಂಡಿದ್ದಾರೆ.