ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು

ಮತ್ತೆ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯಶಃ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹಲವರು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಇಂದು ನಾವು ಸರಿಸುಮಾರು ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಲು ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಇತಿಹಾಸ

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೂ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕಲೆ ಪುರಾತನ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್ ಮತ್ತು ಈಜಿಪ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ ಸಮಾನತೆ "=" ನ ಚಿಹ್ನೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ನಂತರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಇದನ್ನು 1556 ರಲ್ಲಿ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ರೆಕಾರ್ಡ್ ಪರಿಚಯಿಸಿತು. ಮೂಲಕ, ಈ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಒಂದು ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ: ಅಂದರೆ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳು. ಸಮಾನತೆಯ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಬಾರದು ಎಂಬುದು ನಿಜ.

ಅಪರಿಚಿತರು ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಆಧುನಿಕ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಹೆಸರಿನ ಸ್ಥಾಪಕರು ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ವಿಯೆಟ್. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ಹೆಸರುಗಳು ಇಂದಿನಿಂದ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು Q (ಲ್ಯಾಟಿನ್ "ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಸ್") ಎಂಬ ಅಕ್ಷರದ ಮತ್ತು ಸಿ (ಲ್ಯಾಟಿನ್ "ಕ್ಯುಬಸ್") ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹೆಸರುಗಳು ಈಗ ಅಹಿತಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಅದು ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥವಾಗುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಗಿನ ವಿಧಾನಗಳ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕೇವಲ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ. ಹೇಗಾದರೂ, ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು ನಿಕೋಲೊ ಟಾರ್ಟಾಗ್ಲಿಯಾ, ಗೆರೋಲಾಮೊ ಕಾರ್ಡಾನೊ ಮತ್ತು ರಾಫೆಲ್ ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ 16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಮೊದಲವರು. ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್ನ ಕೃತಿಗಳಿಗೆ 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಲಾಯಿತು.

18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ಸ್ವಿಸ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಗೇಬ್ರಿಯಲ್ ಕ್ರಾಮರ್ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಲು ಹೊಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ತರುವಾಯ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವನ ನಂತರ ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಈ ದಿನ ನಾವು ಅದನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ನಾವು ಕ್ರಾಮರ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕುರಿತು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಇದೀಗ ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಲೀನಿಯರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಲೀನಿಯರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವೇರಿಯಬಲ್ (ಗಳು) ಯೊಂದಿಗಿನ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಲೀನಿಯರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: ಒಂದು ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... _n * x _n = b. ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಮಾತೃಕೆಗಳ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್

ಈ ಪದದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ನಿಯಮದಂತೆ, ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎರಡು ಅಥವಾ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಯಿತು. ಆದರೆ ನಾಲ್ಕು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನಾವು ನೋಡೋಣ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು x ಎಂದು ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದ್ದರೆ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ: 1,2,3 ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಅವಶ್ಯಕ: ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... _n * x _n = b.

ಈ ಎಲ್ಲ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ನಂತರ, ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಮೆಟ್ರಿಜ್ಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಮಾತೃಗಳು

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎನ್ನುವುದು ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಛೇದನದಲ್ಲಿ ಅದರ ಅಂಶಗಳು. ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ಅವು ಚಂದಾದಾರಿಕೆಗಳ ಕೆಳಗೆ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ₁₁ ಅಥವಾ ₂₃ ). ಮೊದಲ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಕಾಲಮ್. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಜ್ಗಳ ಮೇಲೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಅಂಶದ ಮೇಲೆ, ನೀವು ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ನೀವು ಹೀಗೆ ಮಾಡಬಹುದು:

1) ಅದೇ ಗಾತ್ರದ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಸೇರಿಸಿ.

2) ಮಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಿ.

3) ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೇಸ್: ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕಾಲಮ್ಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳಲ್ಲಿ - ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ.

4) ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇತರರ ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾದರೆ ಮಾಟ್ರಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

ಈ ಎಲ್ಲ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಅವು ನಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತವೆ. ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಮಾತೃಕೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದೇ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೀಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ಕೋಷ್ಟಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವೂ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಈ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು (ಕಳೆಯಿರಿ) ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಅವುಗಳ ಮಾತೃಗಳಲ್ಲಿ ಅದೇ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ನಿಲ್ಲುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ). ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಆ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್) ಮೂಲಕ ನೀವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತಾರೆ. ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೊಸಿಷನ್ ಬಹಳ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ನಿಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ನೋಡಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಹಳ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್ ಅಥವಾ ಫೋನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ. ಡೆಸ್ಕ್ಟಾಪ್ನಲ್ಲಿನ ಐಕಾನ್ಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಸ್ಥಾನವು ಬದಲಾದಾಗ, ಅದು ವರ್ಗಾವಣೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಗಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ , ಅಂತಹ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ . ಇದು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲವಾದರೂ, ಅದು ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಟೇಬಲ್ನ ಲಂಬಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇತರ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಎರಡು ಮಾಟ್ರಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ. ಈಗ ನಾವು ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ರೇಖೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಇತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ₁₁ ಮತ್ತು ₁₂ ರಿಂದ ಬಿ ₁₂ ಮತ್ತು ಬಿ ₂₂ ಅಂಶಗಳು: ₁₁ * ಬಿ ₁₂ + ಎ ₁₂ * ಬಿ ₂₂ ). ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಜಿನ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ತುಂಬಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ

ಈ ವಿಷಯವು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. "ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ನಮಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಈ ಮೂಲಕ ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ .

ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾಡಿದರೆ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಅದನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಶುದ್ಧ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಗಾಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ? ಮೂಲಕ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವನ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿತು. ಗಾಸ್ ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾನೆ: ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲು, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ-ತರಹದ ರೂಪಕ್ಕೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು. ಅಂದರೆ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕೊನೆಯವರೆಗೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಕ್ಕೆ (ಸರಿಯಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿದರೆ) ಒಂದು ಅಪರಿಚಿತನಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಹೀಗೆ ಹೇಳಬೇಕು: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ - ಮೂರು ಅಜ್ಞಾತರು, ಎರಡನೇಯಲ್ಲಿ - ಎರಡು, ಮೂರನೇಯಲ್ಲಿ - ಒಂದು. ನಂತರ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ ಅಜ್ಞಾತತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಎರಡನೇ ಅಥವಾ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿ, ನಂತರ ಉಳಿದ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಕ್ರೇಮರ್ನ ವಿಧಾನ

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸದುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಸಂಕಲನದ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹ ಅತ್ಯವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಕೆಟ್ಟದಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ ಅಥವಾ ಹೇಗೆ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ, ನೀವು ಕಲಿಯಲು ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬೇಕು.

ಈ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಭೂತತೆ ಏನು, ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಾಮರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು? ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ನಾವು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ (ಯಾವಾಗಲೂ) ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅಜ್ಞಾತರು ಮುಂದೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿರುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಟೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದೆ "-" ಚಿಹ್ನೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಋಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅಜ್ಞಾತರಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊದಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸದೆ ನಾವು (ಬಲಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಜ್ಞಾತರಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಾನೋನಿಕಲ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು ಎಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದೆ). ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರತಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸಮತಲವು ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾಲಮ್ನ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಹಲವಾರು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವರ ನಿರ್ಣಾಯಕತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕರನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಅದು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಷಯ. ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಹಲವಾರು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿವೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಟೇಬಲ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಟೇಬಲ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಅಜ್ಞಾತರನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಇತರ ವಿಧಾನಗಳು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹಲವು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಗಾಸ್-ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ, ಮಾಟ್ರೈಸ್ನ ಬಳಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಜಾಕೋಬಿ ವಿಧಾನವೂ ಇದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗೆ ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬಲ್ಲದು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂದರ್ಭಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿ ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವೆಂದು ಹೇಳಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಅದು ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ) ಅಥವಾ ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತತೆಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಕರಣ ಇದ್ದರೆ, ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕೊನೆಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ನೋಡೋಣ: ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಯಾವುವು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ನಾವು ಇತರ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನ. ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಇತರ ಮಾರ್ಗಗಳ ಕುರಿತು ನಾವು ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇವೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ವಿಷಯವು ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನೀವು ಇದನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಹೆಚ್ಚು ವಿಶೇಷ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಓದುವುದನ್ನು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.